Hjem / vitenskap / matematikk / Hvordan løse differensial lineære ligninger

Hvordan løse differensial lineære ligninger

/
75 Visninger

Hvordan løse differensial lineære ligninger</a>

Differensialligningen hvor ukjent funksjon og dens deriverte innbefatter lineære, det vil si den første grad, kalt en lineær differensialligning av den første orden.

instruksjon

    1

Et generelt riss av en første ordens lineær differensialligning er:

y? + P (x) * y = f (x),

hvor y - ukjent funksjon, og p (x) og f (x) -noen spesifiserte funksjoner. De regnes for å være kontinuerlig i området der du ønsker å integrere ligningen. Spesielt kan de være konstanter.

    2

Hvis f (x)? 0, da ligningen kalles odnorodnym- hvis ikke - da henholdsvis ujevn.

    3

Den lineære homogene ligningen kan løses ved separasjon av variable. Sin generelle form: y? + P (x) * y = 0 er derfor:

dy / dx = -p (x) * y, noe som innebærer at dy / y = p (x) dx.

    4

Integrere begge sider av den resulterende ligningen, får vi:

? (Dy / y) = -? P (x) dx, det vil si, ln (y) = -? P (x) dx + ln (C) eller y = C * e ^ (? - P (x) dx) ).

    5

Løsning av den inhomogene lineære ligningen kan væretrekke seg fra oppløsninger av de tilsvarende homogene, det vil si, den samme ligning med den høyre side av falt f (x). For å gjøre dette, å erstatte konstanten C i oppløsningen av den homogene ligningen ukjent funksjon? (X). Deretter ble løsningen av den inhomogene ligning vil bli presentert i form av:

? Y = (x) * e ^ (? - P (x) dx)).

    6

Skille dette uttrykket, ser vi at den deriverte av y er:

y? = ?? (x) * e ^ (? - P (x) dx) - (X) * p (x) * e ^ (? - P (x) dx).

Erstatte uttrykkene for y og y? til det opprinnelige ligning og forenkle oppnås lett komme til det resultat:

D? / dx = f (x) * e ^ (? p (x) dx).

    7

Etter å integrere begge sider av det blir slags:

? (X) =? (F (x) * e ^ (? P (x) dx)) dx + C1.

Dermed er ukjent funksjon y uttrykt som:

y = e ^ (-? p (x) dx) * (C + f (x) * e ^ (p (x) dx) ??) dx).

    8

Hvis vi like konstanten C til null, vil uttrykket for y kan oppnå en spesiell løsning av den gitte likning:

Y1 = (e ^ (-? p (x) dx)) * (f (x) * e ^ (p (x) dx) ??) dx).

Deretter kan en komplett løsning uttrykkes som:

y = Y1 + C * e ^ (-? p (x) dx)).

    9

Med andre ord, en komplett løsning av den lineæreinhomogen differensialligning av første orden er lik summen av dens spesielle løsning, og den generelle løsningen av den tilsvarende homogene lineære ligning av første orden.

Hvordan løse differensial lineære ligninger Det ble sist endret: 21 juni 2017 av vashuorm
Det er hoved indre beholder bunntekst